Inéquation

Définition

Soit \(a\) et \(b\) deux nombres réels avec \(a\neq0\).
Une inéquation linéaire du premier degré, d'inconnue \(x\), est de la forme \(ax+b<0\) ou \(ax+b>0\) ou \(ax+b \leq0\) ou \(ax+b \geq0\).

Méthode 

Résoudre une inéquation, c'est déterminer toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent vraie l'inégalité.
Pour résoudre une inéquation, on utilise les propriétés suivantes.

Propriété 1

Si l'on ajoute ou on soustrait, membre à membre, un même nombre aux deux nombres d'une inégalité, celle-ci ne change pas de sens. Autrement dit, soit \(a\;;b\;;c\) trois réels :
\(a\leq b \Leftrightarrow a+c\leq b+c\)
\(a\leq b \Leftrightarrow a-c\leq b-c\)

Propriété 2 

• Si l'on multiplie les deux membres d'une inégalité par un même nombre strictement positif, l'inégalité ne change pas de sens.
  Autrement dit, \(a\;;b\;\)deux réels et\(\;k\) un réel strictement positif : \(a\leq b \Leftrightarrow a\times k\leq b \times k\).
  
• Si l'on multiplie les deux membres d'une inégalité par un même nombre strictement négatif, l'inégalité change de sens.
  Autrement dit, \(a\;;b\;\)deux réels et\(\;k\) un réel strictement négatif : \(a\leq b \Leftrightarrow a\times k\color{red}\geq b \times k\).
  

Exemple 1

Résolvons dans \(\mathbb{R}\) l'inéquation \(4x-2\leq0\).
\(\)On ajoute \(2\) à chaque membre de l'inégalité.
On a alors : \(4x-2\color{red}{+2}\leq0\color{red}{+2}\) 
Ce qui équivaut à \(4x\leq2\).
On divise chaque membre de l'inégalité par \(4\) (qui est un nombre strictement positif). On a alors : \(\dfrac{4x}{\color{red}4}\leq \dfrac{2}{\color{red}4}\)
Ce qui équivaut à \(x\leq \dfrac{1}{2}\)
Donc l'ensemble des solutions est l'intervalle \(\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right]\).
\(\mathscr{S}=\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right]\).

Exemple 2

Résolvons dans \(\mathbb{R}\) l'inéquation \(x-4\leq3x+2\).
On soustrait \(3x\) à chaque membre de l'inégalité.
On a alors : \(x-4\color{red}{-3x}\leq 3x+2\color{red}{-3x}\).
Ce qui équivaut à \(-2x-4\leq2\).
On ajoute \(4\) à chaque membre de l'inégalité.
On a alors : \(-2x-4\color{red}{+4}\leq 2\color{red}{+4}.\)
Ce qui équivaut à \(-2x\leq6\).
On divise chaque membre de l'inégalité par \(-2\) (qui est un nombre strictement négatif).
Attention l'inégalité change de sens.
On a alors : \(\dfrac{-2x}{\color{red}{-2}}\color{red}{\geq} \dfrac{6}{\color{red}{-2}}\) ce qui équivaut à \(x\geq-3\).
Donc l'ensemble des solutions est l'intervalle \(\left[-3;+\infty\right[\).
\(\mathscr{S}=\left[-3;+\infty\right[\).

​​​​​Autre méthode
On peut aussi procéder de la manière suivante.
\(x-4\leq3x+2 \Leftrightarrow-4-2\leq3x-x\Leftrightarrow \dfrac{-6}{2}\leq\dfrac{2x}{2} \Leftrightarrow -3\leq x\)
\(\mathscr{S}=\left[-3;+\infty\right[\).